命題７
「与えられた２線分が１つの線分の端から作図され、１点で交わっていて、他の２線分がそれと同じ側にある他の点で交わっているとき、最初の２線分とそれがそれぞれ等しくなることはできない。すなわちおのおのが同じ端で等しくなることはできない。」
できるならば、線分ＡＢの上につくられ、点Ｃで交わっている２線分ＡＣ、ＣＢが与えられるとき、それと同じ側にある、前の２線分とそれぞれ等しく、同じ線分ＡＢの上につくられ、他の点Ｄで交わっている他の２線分、すなわち互いに同じ端から等しい２線分をＡＤ、ＤＢとせよ。そのため、ＡＣはＡを同じ端にもつＡＤと等しく、ＣＢはＢを同じ端にもつＤＢと等しい。
ＣＤを結びなさい。公準Ⅰ．１
ＡＣはＡＤと等しいので、角ＡＣＤは角ＡＤＣと等しい。それゆえ、角ＡＤＣは角ＤＣＢより大きい。それゆえ、角ＣＤＢは角ＤＣＢよりなお大きい。（角ＡＣＤは角ＡＤＣと等しく、角ＡＣＤは角ＤＣＢより大きいので、角ＡＤＣは角ＤＣＢより大きい。また、角ＣＤＢは角ＡＤＣより大きいので、角ＣＤＢは角ＤＣＢよりなお大きい。）命題Ⅰ．５，共通概念Ⅰ．５
また、ＣＢはＤＢと等しいので、角ＣＤＢも角ＤＣＢと等しい。しかし、角ＣＤＢは角ＤＣＢよりかなり大きいことが証明されているので矛盾する。命題Ⅰ．５
それゆえ、与えられた２線分が１つの線分の端からつくられ、１点で交わっていて、他の２線分がそれと同じ側にある他の点で交わっているとき、最初の２線分とそれがそれぞれ等しくなることはできない。すなわちおのおのが同じ端で等しくなることはできない。
証明終了