命題25
平方だけにおいて通約可能な中項線分によって，
囲まれる長方形は
有理面積か中項面積かのどちらかである。
長方形ACは正方形だけにおいて 通約可能である中項線分AB,BCによって囲まれるとする。
このとき，ACは有理面積か中項面積かのどちらかであることを示す。
AB,BC上に正方形AD,BEを描く。
このとき，正方形AD，BEは中項面積である。
有理線分FGを定める。
ADに等しくFHを幅とする直角平行四辺形GHがFGにつくられ，
ACに等しくHKを幅とする直角平行四辺形MKがHMに作られ，
同様に，BEに等しくKLを幅とするNLがKNに作られたとする。
このとき，FH,HK,KLは一直線である。
正方形AD，BEは中項面積でADはGHに等しく， BEはNLに等しいので，長方形GH,NLは中項面積である。
また，長方形GH，NLは有理線分FGにつくられている。
よって，線分FH,KLは有理線分で， FGと長さにおいて通約不可能である。 Ⅹ.22
また，ADはBEと通約可能なので，GHはNLと通約可能である。
そして，GHがNLに対するようにFHはKLに対する。
ゆえに，FHはKLと長さにおいて通約可能である。 Ⅵ.1 Ⅹ.11
よって，FH,KLは長さにおいて通約可能な有理線分である。
したがって，FH,KLでできた長方形は有理面積である。 Ⅹ.19
また，DBはBAに等しく， OBはBCに等しいので，DBがBCに対するようにABがBOに対する。
DBがBCに対するように，DAがACに対し，ABがBOに対するようにACがCOに対する。
よって，DAがACに対するように，ACはCOに対する。
Ⅵ.1
また，ADはGHに等しく，ACはMKに等しく，COはNLに等しい。
ゆえに，GHがMKに対するように，MKはNLに対する。
よって，FHがHKに対するように，HKはKLに対する。
したがって，FK，KLでできた長方形はHK上の正方形に等しい。 Ⅵ.1 Ⅴ.11 Ⅵ.17
また，FH,KLでできた長方形は有理面積である。
ゆえに，HK上の正方形は有理面積である。
よって，HKは有理線分である。
HKがFGと長さにおいて通約可能ならば，
HNは有理面積で
HKがFGと長さにおいて通約不可能ならば，
KH，HMは正方形だけにおいて通約可能な有理線分である。
よって，HNは有理面積か中項面積である。
また，HNはACに等しい。
よって，ACは有理面積か中項面積かのどちらかである。
証明終了