命題37

平方においてのみ通約可能で有理面積を囲む二つの 中項線分が加えられるならば，
全体は無理線分である。
そして，これは第一の双中項線分と呼ばれる。

平方においてのみ通約可能で有理面積を囲む 二つの中項線分AB,BCが加えられたとする。

ＡＣが無理であることを示す。

ABはBCと長さにおいて通約不可能なので， AB，BCでできた正方形の和はAB，BCでできた長方形の二倍と通約不可能で，AB,BCでできた正方形とAB,BCでできた長方形の二倍との和，
すなわちACでできた正方形はAB,BCでできた長方形と通約不可能である。 �].36 �U.4 �].16

また，仮定よりAB,BCは有理面積を囲む線分であるので， AB,BCでできた長方形は有理面積である。

ゆえに，ACでできた正方形は無理面積である。

よって，ACは無理線分であり，第一の双中項線分と呼ばれる。 �].Def.4

証明終了