命題42
二項線分は一点だけでその項に分けられる。
ABはCでその項に分けられる二項線分とする。
このとき，ACとCBは平方においてのみ通約可能な有理線分である。
ABが他の点で二つの有理線分に分けられないことを示す。
ADとDBが平方においてのみ通約可能な 有理線分であるようにDで分けられるとする。
ACはDBと同じでないことは明らかである。
可能ならば，ACはDBと同じであるとする。
このとき，ADはCBと同じであり， ACがCBに対するように，BDはDAに対する。
ABはCで分けられたようにDで分けられる。 これは仮定に矛盾。
ゆえに，ACはDBと同じでない。
よって，点C,Dは二等分点から等距離でない。
したがって，AC，CBでできた二つの正方形とAC，CBでできた長方形の 二倍との和とAD，DBでできた二つの正方形とAD,DBでできた長方形の二倍との 和はABでできた正方形に等しいので， AC,CBでできた正方形の和とAD,DBでできた長方形の二倍と AC,CBでできた長方形の二倍との差に等しい。 Ⅱ.4
また，AC,CBでできた正方形の和と，AD,DBでできた正方形の和は有理面積なので，
その差は有理面積である。
ゆえに，AD,DBでできた長方形の 二倍とAC,CBでできた長方形の二倍は中項面積である。
しかし，その差は有理面積である。
中項面積と中項面積との差は有理面積でないので，これは矛盾。 Ⅹ.21 Ⅹ.26
ゆえに，二項線分は異なった二点で，分けられない。
よって，二項線分は一点だけで分けられる。
証明終了