命題41
平方において通約不可能な二つの直線上の正方形の和が，
中項面積であり，
その二つの直線が中項な長方形に含まれ，
その長方形とそれぞれの直線上の正方形の和が，
通約不可能であるとき，
加えられた全体の直線は無理である。
これを二つの中項面積の和に等しい正方形の辺と呼ぶ。
平方において通約不可能な二つの直線をAB,BCとし，
与えられた条件を満たしたものを加えるとする。
Ⅹ.35
ＡＣが無理であることを示す。
DEを有理線分とする。
DE上にAB,BC上の正方形の和と等しくなるようにDFをとり，
また，DE上に長方形AB,BCの二倍と等しくなるように，GHをとる。
このとき全体のDHはAC上の正方形に等しい。 Ⅱ.4
AB，BC上の正方形の和は中項で，DFと等しい。
よって，DFも中項である。
そしてそれは有理線分DE上にある。
よって，DGは有理で，DEと長さにおいて通約不可能。
同様にして，GKも有理でGFつまりDEと長さにおいて通約不可能。 Ⅹ.22
AB,BC上の正方形の和は長方形AB,BCの二倍と通約不可能なので，
DFはGHと通約不可能。
そして，それらは有理，
よって，DGとGKは有理で平方においてのみ通約可能。
よって，DKは無理，そしてそれを二項線分と呼ぶ。 Ⅹ.36
ここで，DEは有理，よって，DHは無理。 Ⅹ.Def.4
よって，ACが二つの中項面積の和に等しい正方形の辺と呼ぶ。
Lemma
前述の無理線分がただ一つの方法で 二つの線分に分けられることをLemmaにおいて証明する。
ABを直線とし，全体を異なるように，点C,Dで分ける。
ACはDBより大きいとする。
AC,CB上の正方形の和はAD,DB上の正方形の和より， 大きくなることを示す。
ABをEで二等分する。
DCを引くと，ACはDBより大きいので， 残りのADは残りのCBより大きい。
ここで，AEはEBと等しい。よって，DEはECより小さい。
よって，点C，Dは二等分した点から等距離ではない。
長方形AC,CBとEC上の正方形の和は，EB上の正方形と等しい。
更に，長方形AD，DBとDE上の正方形の和は，EB上の正方形と等しい。
よって，長方形AC，CBとEC上の正方形の和と 長方形AD,DBとDE上の正方形の和は等しい。 Ⅱ.5
DE上の正方形はEC上の正方形よりも小さい。
よって，残りの長方形AC，CBは長方形AD，DBより小さい。
そして長方形AC，CBの二倍も長方形AD，DBの二倍より小さい。
よって，残りAC，CB上の正方形の 和はAD,DB上の正方形の和より大きい。
証明終了