命題45

優線分は一点だけで分けられる。

ABをCで分けられる優線分とおく。

ゆえに，AC,CBは平方において通約不可能で， AC,CBでできた正方形の和は有理面積で，
AC,CBでできた長方形は中項面積であるとする。

ABが他の点で分けられないことを示す。

可能ならばABはDで分けられるとする。

ゆえに，AD，DBは平方においてのみ通約可能で， AD,DBでできた正方形の和は有理面積で，
AD,DBでできた長方形は中項面積である。

このとき，AC,CBでできた正方形の和と AD,DBでできた正方形の和との差は，AD，DBでできた長方形の二倍と AC,CBでできた長方形の二倍との差に等しい。

また，AC,CBでできた正方形の和はAD,DBでできた正方形の和は有理面積なので，
その差は有理面積だけ大きい。

ゆえに，AD,DBでできた長方形の二倍とAC,CBでできた長方形の二倍は中項面積であるが，
その差は有理面積だけ大きい。
これは，不可能である。 �].26

よって，優線分は異なった，二点で分けられない。

したがって，一点だけで分けられる。

証明終了