命題46

中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺は， ただ一つの点でのみ分けられる。

中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺をABとし， Cで分けられるとする。

すなわちAC,CBは平方において通約不可能，AC,CB上の正方形の和は中項であるとし，
また，ACとCBでできた長方形の二倍は有理であるとする。 �].40

ABが他の点では分けられないことを示す。

もし，Dで分けることができるとするならばADとDBもまた平方において通約不可能で
AD,DB上の正方形の和は中項であり，

また，ADとDBでできた長方形の二倍は有理。

また，そのとき，ACとCBでできた長方形の二倍とAD,DBでできた長方形の二倍との差は AD,DB上の正方形の和とAC,CB上の正方形の和との差に等しい。

AC,CBでできた長方形の二倍と， AD,DBでできた長方形の二倍との差は有理面積である。

ゆえに，AD,DB上の正方形の和とAC,CB上の正方形の和との差は有理面積であるが，
それらはそれぞれ中項であり矛盾 �].26

ゆえに，中項面積と有理面積の和に等しい 正方形の辺は他の点で分けることはできない。

よって，ただ一つの点でのみ分けられる。

証明終了