命題47

二つの中項面積の和に等しい辺は，一点だけで分割される。

ABはCで分割されるとする。

ACとCBは平方において通約不可能で AC上，CB上の正方形の和は中項とし，
長方形AC，CBは中項で AC上，CB上の正方形の和と通約不可能とする。

ABは与えられた条件を満たすような もう一つの点で分割されないことを示す。

可能ならばABをDで分割する。

そして，ACはBDと等しくなく，ACのほうが大きいとする。

EFを有理線分とし，EFはAC上，CB上の正方形の和と 等しい長方形EGに当てはまり，
長方形HKは長方形AC，CBの二倍と等しい。

このとき全体のEKはAB上の正方形と等しい。 �U.4

またAD上，DB上の正方形の和に等しいELはEF上にある。

このとき残り長方形AD，DBの二倍は残りのMKに等しい。

そして仮定より，AC上，CB上の正方形の和は中項。

よってEGも中項である。

そして，有理線分EFに当てはまる。

よってHEは有理でEFと長さにおいて通約不可能である。 �].22

同様にして，HNは有理でEFと長さにおいて通約不可能である。

そしてAC上，CB上の正方形の和は長方形AC，CBの二倍と通約不可能なので EGもHKと通約不可能。

そしてEHもHNと通約不可能である。 �Y.1 �].11

そしてそれらは有理なので EHとHNは平方においてのみ通約可能な有理線分である。

よって，ENはHで分割された二項線分である。 �].36

同じようにMでも分割されることが証明できる。

そしてEHはMNと等しくない。

よって，二項線分は異なる二点で分割された。
しかしこれは不合理である。 �].42

よって二つの中項面積の和と等しい辺は異なる点で分割されない。

よって一点だけで分けられる。

証明終了