命題49

第二の二項線分を見つける

二つの数をAC,CBとする。 それらの和のABとBCが平方数が平方数に対してもつ比をもつとする。

ここで，ABとACは平方数が平方数に対してもつ比をもたないとする。

有理線分をDとし，Dと長さにおいて通約可能な直線をEFとする。
よってEFは有理線分である。

数CAがABに対するように， EF上の正方形がFG上の正方形に対するようにする。 �].6.Cor. �].6

そうするとEF上の正方形はFG上の正方形と通約可能。 よって，FGも有理線分。

ここで数CAはABに対して平方数が平方数に対してもつ比を持たない。

EF上の正方形とFG上の正方形も 平方数が平方数に対して持つ比を持たない。

よって，EFはFGと長さにおいて通約不可能である。

よって，EFとFGは平方においてのみ通約可能な有理線分である。

よって，EGは二項線分である。 �].9

次に，第二の二項線分であることを示す。

ここで，逆に数BAがACに対するようにGF上の正方形がFE上の正方形に対し， 一方BAはACより大きい。

よってGF上の正方形はFE上の正方形より大きい。 �X.7.Cor.

EF上，H上の正方形の和がGF上の正方形と等しいとする。
そうすれば，除比の理よりABはBCに対し ，FG上の正方形はH上の正方形に対する。 �X.19.Cor.

ここで，ABはBCと平方数が平方数に対して持つ比を持つ。

よって，FG上の正方形はH上の正方形と， 平方数が平方数に対して持つ比を持つ。

よってFGはHと長さにおいて通約可能
よって，FG上の正方形はFE上の正方形より， FGと通約可能な直線上の正方形だけ大きい。 �].9

FGとFEは平方においてのみ通約可能な有理線分， EFつまり小さいほうは有理線分Dと
長さにおいて通約可能

よって，EGは第二の二項線分である。

証明終了