命題53

第六の二項線分を見つける

二つの数をAC,CBとする。
ABはそれらの両方ともと平方数であらわせる比を持たないとする。

また，他の数をDは，平方数ではなく，
BAとACの両方に対して平方数であらわせる比を持たない。

ある有理線分をEとし，
DがABに対するようにE上の正方形がFG上の正方形に対するようにEをとる。

そのとき，E上の正方形はFG上の正方形と通約可能である。
また，Eは有理なので，ゆえにFGも有理。 �].6.Cor. �].6

DはABに対して平方数であらわせる比を持たないので， E上の正方形もFG上の正方形に対して平方数であらわせる比を持たない。

ゆえに，EはFGと長さにおいて通約不可能。 �].9

さらに，BAがACに対するように FG上の正方形がGH上の正方形に対するように，GHをとる。

そのとき，FG上の正方形はHG上の正方形と通約可能。 �].6.Cor. �].6

ゆえに，HG上の正方形は有理。ゆえに，HGは有理。

またBAはACに対して平方数であらわせる比を持たないので， FG上の正方形もGH上の正方形に対して平方数であらわせる比を持たない。

ゆえに，FGはGHと長さにおいて通約不可能。 �].9

したがって，FGとGHは平方においてのみ 通約可能な有理線分であるので，FHは二項線分である。 �].9

つぎに，FHが第六の二項線分であることを示す。

DがABに対するようにE上の正方形がFG上の正方形に対し，
BAがACに対するようにFG上の正方形がGH上の正方形に対する。

ゆえに，等比の理より， DがACにたいするようにE上の正方形がGH上の正方形に対する。 �X.22

しかし，DはACに対して平方数であらわせる比を持たないので，
同様にE上の正方形はGH上の正方形に対して，平方数であらわせる比を持たない。

ゆえに，EとGHは長さにおいて通約不可能である。 �].9

また，EがFGと通約不可能であることはすでに証明されているので， FGとGHは有理線分Eと長さにおいて通約不可能である。

また，BAがACに対するようにFG上の正方形はGH上の正方形に対するので， FG上の正方形はGH上の正方形より大きい。

GH上，K上の正方形の和がFG上の正方形に等しいとする。

このとき，ABがBCに対するようにFG上の正方形はK上の正方形に対する
しかし，ABはBCに対して平方数であらわせる比を持たないので，
すなわちFG上の正方形もK上の正方形に対して平方数であらわせる比を持たない。 �X.19.Cor.

ゆえに，FGはKと長さにおいて通約不可能。

よって，FG上の正方形はGH上の正方形より FGと通約不可能な直線K上の正方形だけ大きい。 �].9

また，FGとGHは平方においてのみ通約可能な有理線分であり，
有理線分Eと長さにおいて通約可能ではない。

したがって，FHは第六の二項線分である。

証明終了