命題68
「優線分と通約可能な線分はそれ自身も優線分である」
CDが優線分である事を示す。
ABをEで分ける。 そのとき，AEとEBは平方において通約不可能な直線であり，AE上，EB上の正方形の和は有理で，AE,EBでできた長方形は中項である。 Ⅹ.39
前と同様に作図する。
ABがCDに対するように，AEはCFに対し，EBはFDに対するので，ゆえにAEがCFに対するようにEBはFDに対する。 Ⅴ.11
また，ABはCDと通約可能であり，ゆえに，AEとEBはそれぞれCF,FDと通約可能である。 Ⅹ.11
AEがCFに対するようにEBがFDに対し，入れ替えて，AEがEBに対するようにCFはFDに対するので，ゆえにABがBEに対するようにCDはDFに対する。 Ⅴ.16 Ⅴ.18
ゆえに，AB上の正方形がBE上の正方形に対するように，CD上の正方形はDF上の正方形に対する。 Ⅵ.20
同様に，AB上の正方形がAE上の正方形に対するようにCD上の正方形はCF上の正方形に対する。ゆえに，AB上の正方形がAE上，EB上の正方形に対するようにCD上の正方形はCF,FD上の正方形に対する。ゆえに，それぞれ互いに，AB上の正方形はCD上の正方形に対し，AE上，EB上の正方形はCF上，FD上の正方形に対する。 Ⅴ.16
また，AB上の正方形はCD上の正方形にと通約可能なので，ゆえにAB上，EB上の正方形はCF上，FD上の正方形と通約可能である。
AE上，EB上の正方形はともに有理で，ゆえにCF上，FD上の正方形もともに有理である。
同様に，長方形AE,EBの2倍は長方形CF,FDの2倍と通約可能である。長方形AE,EBの2倍は中項なので，ゆえに長方形CF,FDの2倍も中項である。
よって，CFとFDは平方において通約可能な直線で，同時に，それらでできた正方形は有理で，それらを含む長方形は中項である。ゆえに，全体のCDは無理線分で優線分と呼ばれる。 Ⅹ.39
ゆえに，優線分と通約可能な線分は優線分である。
証明終了