命題67
「双中項線分と通約可能な線分は双中項線分であり，順位において同じである」
CDが双中項線分でABと順位において同じであることを証明する。
ABは双中項線分なので，Eで２つの中項線分に分けられたとする。このとき，AE,EBは平方においてのみ通約可能な中項線分である。 Ⅹ.37 Ⅹ.38
ABがCDに対するようにAEがCFに対する。このとき，のこりのEBがのこりのFDに対するように，ABがCDに対する。 Ⅴ.19
また，AEはCDと長さにおいて通約可能なので，AE,EBはCF,FDとそれぞれ通約可能である。 Ⅹ.11
また，AE,EBは中項線分であるので，CF,FDは中項線分である。 Ⅹ.23
AEがEBに対するようにCFがFDに対するので，AE,EBは平方においてのみ通約可能である。よって，CF,FDは平方においてのみ通約可能である。 Ⅴ.11 Ⅹ.11
また，CF,FDは中項線分である事が証明されていたので，CDは双中項線分である。
次に，CDがABと順位において同じである事を示す。
AEがEBに対するように，CFがFDに対するので，AEでできた正方形が長方形AE,EBに対するようにCFでできた正方形が長方形CF,FDに対する。 入れ替えて，AEでできた正方形がCFでできた正方形に対するように，AE,EBでできた長方形がCF,FDでできた長方形に対する。 Ⅴ.16
また，AEでできた正方形はCFでできた正方形と通約可能である。 よって，AE,EBでできた長方形はCF,FDでできた長方形と通約可能である。
ゆえに，AE,EBでできた長方形が有理面積ならば，CF,FDでできた長方形は有理面積である。したがって，CDは第1の双中項線分であり，中項面積ならば，中項面積で線分AB,CDはそれぞれ第2の双中項線分である。 よって，CDはABと順位において同じである。 Ⅹ.37 Ⅹ.38
証明終了