命題70
「2つの中項面積の和に等しい正方形の1辺と通約可能な線分は2つの中項面積の和に等しい正方形の1辺である」
CDが2つの中項面積の和に等しい正方形の1辺である事を示す。
ABは2つの中項面積の和に等しい正方形の辺であるので，Eで2つの線分に分けられたとする。よって，AE,EBは平方において通約不可能で，AE，EBでできた正方形の和を中項面積とし，AE,EBでできた長方形を中項面積とし，AE，EBでできた正方形の和をAE,EBでできた長方形と通約不可能とする。 Ⅹ.41
前と同様に作図する。
このとき，同様にして，CF,FDは平方において通約不可能でAE,EBでできた正方形の和はCF,FDでできた正方形の和と通約可能で，AE,EBでできた長方形はCF,FDでできた長方形と通約可能である事が証明できる。 よって，CF,FDでできた正方形の和は中項面積で，CF,FDでできた長方形は中項面積で，CF,FDでできた正方形の和はCF,FDでできた長方形と通約不可能である。
ゆえに，CDは2つの中項面積の和に等しい正方形の1辺である。
証明終了