命題８
「線分が任意に分けられるならば、全体と１つの部分によって囲まれている長方形の４倍と残りの部分の上の正方形の和は全体の線分と先にいわれた部分を一直線とした正方形と等しい。」
点Ｃで任意に分けられた線分をＡＢとせよ。
ＡＢ、ＢＣに囲まれている長方形の４倍とＡＣ上の正方形の和はＡＢとＢＣを一直線とした正方形と等しいことをいう。
ＡＢと一直線をなす線分ＢＤを延長し、ＢＤをＣＢと等しくさせなさい。ＡＤ上に正方形ＡＥＦＤをかき、作図しなさい。
そのとき、ＣＢはＢＤと等しく、一方で、ＣＢはＧＫと等しく、ＢＤはＫＮと等しいのでＧＫもＫＮと等しい。
同様な理由で、ＱＲもＲＰと等しい。
そして、ＢＣはＢＤと等しく、ＧＫはＫＮと等しいので、ＣＫもＫＤと等しく、ＧＲはＲＮと等しい。命題Ⅰ．36
しかし、ＣＫはＲＮと等しい。なぜなら、それらは平行四辺形ＣＰの補形である。それゆえ、ＫＤもＧＲと等しい。それゆえ、ＤＫ、ＣＫ、ＧＲ、ＲＮの４つは互いに等しい。それゆえ、４つはＣＫの４倍である。命題Ⅰ．43
また、ＣＢはＢＤと等しく、一方で、ＢＤはＢＫつまりＣＧと等しく、ＣＢはＧＫつまりＧＱと等しいので、ＣＧもＧＱと等しい。
そして、ＣＧはＧＱと等しく、ＱＲはＲＰと等しいので、ＡＧもＭＱと等しく、ＱＬはＲＦと等しい。命題Ⅰ．36
しかし、ＭＱはＱＬと等しい。なぜなら、それらは平行四辺形ＭＬの補形である。それゆえ、ＡＧもＲＦと等しい。それゆえ、ＡＧ、ＭＱ、ＱＬ、ＲＦの４つは互いに等しい。それゆえ、４つはＡＧの４倍である。しかし、ＤＫ、ＣＫ、ＧＲ、ＲＮの４つはＣＫの４倍であることは証明されていた。グノーモーンＳＴＵを含む８つはＡＫの４倍である。
いま、ＢＫがＢＤと等しいため、ＡＫはＡＢ、ＢＤに囲まれている長方形なので、ＡＢ、ＢＤに囲まれている長方形の４倍はＡＫの４倍である。
しかし、グノーモーンＳＴＵはまたＡＫの４倍であることを証明されていた。それゆえ、ＡＢ、ＢＤに囲まれている長方形の４倍はグノーモーンＳＴＵと等しい。
おのおのにＡＣ上の正方形と等しいＯＨを加えなさい。それゆえ、ＡＢ、ＢＤに囲まれている長方形の４倍とＡＣ上の正方形の和はグノーモーンＳＴＵとＯＨの和と等しい。
しかし、グノーモーンＳＴＵとＯＨはＡＤ上にかかれている正方形ＡＥＦＤ全体である。それゆえ、ＡＢ、ＢＤに囲まれている長方形の４倍とＡＣ上の正方形の和はＡＤ上の正方形と等しい。
しかし、ＢＤはＢＣと等しい。
それゆえ、ＡＢ、ＢＣに囲まれている長方形の４倍とＡＣ上の正方形の和はＡＤ上の正方形、つまりＡＢとＢＣを一直線とした正方形と等しい。
それゆえ、線分が任意に分けられるならば、全体と１つの部分によって囲まれている長方形の４倍と残りの部分の上の正方形の和は全体の線分と先にいわれた部分を一直線とした正方形と等しい。
証明終了