命題９
「線分が等しいおよび不等な部分に分けられるならば、不等な部分の上の正方形の和はもとの線分の半分の上の正方形と２つの区分点の間の線分上の正方形の和の２倍である。」
点Ｃで等しい部分に、点Ｄで不等な部分に分けられた線分をＡＢとせよ。
ＡＤ、ＤＢ上の正方形の和はＡＣ上の正方形とＣＤ上の正方形の和の２倍であることをいう。
ＣからＡＢに直角になるＣＥをひき、それをＡＣ、ＣＢのどちらかと等しくさせなさい。ＥＡとＥＢを結びなさい。Ｄを通って、ＥＣと平行なＤＦをひき、点Ｆを通って、ＡＢと平行なＦＧをひきなさい。ＡＦを結びなさい。
そのとき、ＡＣはＣＥと等しいので、角ＥＡＣも角ＡＥＣと等しい。
そして、Ｃにおける角は直角なので、残りの角ＥＡＣとＡＥＣの和は直角と等しい。命題Ⅰ．32
そして、それらは等しいので、角ＣＥＡとＣＡＥは直角の半分である。
同様な理由で、角ＣＥＢとＥＢＣも直角の半分である。それゆえ、角ＡＥＢ全体は直角である。
そして、角ＧＥＦは直角の半分で、角ＥＧＦが内対角ＥＣＢと等しいことから直角なので、残りの角ＥＦＧは直角の半分である。それゆえ、角ＧＥＦは角ＥＦＧと等しい。ゆえに、辺ＥＧも辺ＧＦと等しい。命題Ⅰ．29，命題Ⅰ．32，命題Ⅰ．６
また、Ｂにおける角は直角の半分で、角ＦＤＢが内対角ＥＣＢと等しいことから直角なので、残りの角ＢＦＤは直角の半分である。それゆえ、Ｂにおける角は角ＤＦＢと等しい。ゆえに、辺ＦＤも辺ＤＢと等しい。命題Ⅰ．29，命題Ⅰ．32，命題Ⅰ．６
いま、ＡＣはＣＥと等しく、ＡＣ上の正方形もＣＥ上の正方形と等しいので、ＡＣ、ＣＥ上の正方形の和はＡＣ上の正方形の２倍である。
しかし、ＥＡ上の正方形はＡＣ、ＣＥ上の正方形の和と等しい。なぜなら、角ＡＣＥは直角である。それゆえ、ＥＡ上の正方形はＡＣ上の正方形の２倍である。命題Ⅰ．47
また、ＥＧはＧＦと等しいので、ＥＧ上の正方形もＧＦ上の正方形と等しい。
それゆえ、ＥＧ、ＧＦ上の正方形の和はＧＦ上の正方形の２倍である。
しかし、ＥＦ上の正方形はＥＧ、ＧＦ上の正方形の和と等しいので、ＥＦ上の正方形はＧＦ上の正方形の２倍である。
しかし、ＧＦはＣＤと等しいので、ＥＦ上の正方形はＣＤ上の正方形の２倍である。命題Ⅰ．34
しかし、ＥＡ上の正方形もＡＣ上の正方形の２倍なので、ＡＥ、ＥＦ上の正方形の和はＡＣ、ＣＤ上の正方形の和の２倍である。
そして、ＡＦ上の正方形はＡＥ、ＥＦ上の正方形の和と等しい。なぜなら、角ＡＥＦは直角である。それゆえ、ＡＦ上の正方形の和はＡＣ、ＣＤ上の正方形の和の２倍である。命題Ⅰ．47
しかし、ＡＤ、ＤＦ上の正方形はＡＦ上の正方形の和と等しい。なぜなら、Ｄにおける角は直角である。それゆえ、ＡＤ、ＤＦ上の正方形の和はＡＣ、ＣＤ上の正方形の和の２倍である。命題Ⅰ．47
そして、ＤＦはＤＢと等しい。
それゆえ、ＡＤ、ＤＢ上の正方形の和はＡＣ上の正方形とＣＤ上の正方形の和の２倍である。
それゆえ、線分が等しいおよび不等な部分に分けられるならば、不等な部分の上の正方形の和はもとの線分の半分の上の正方形と２つの区分点の間の線分上の正方形の和の２倍である。
証明終了