命題１０
「底辺における角のそれぞれが残りの角の２倍である二等辺三角形を作図すること」
任意に線分ＡＢをひき、点Ｃにおいて分け、ＡＢ、ＡＣに囲まれている長方形がＣＡ上の正方形と等しくなるとせよ。命題Ⅱ．11
中心Ａ、半径ＡＢをもつ円ＢＤＥがかかれ、円ＢＤＥに円ＢＤＥの直径より大きくない線分ＢＤが挿入されたとせよ。命題Ⅳ．１
ＡＤ、ＤＣを結び、三角形ＡＣＤに円ＡＣＤを外接しなさい。命題Ⅳ．５
そのとき、ＡＢ、ＡＣに囲まれている長方形はＡＣ上の正方形と等しく、ＡＣはＢＤと等しいので、ＡＢ、ＡＣに囲まれている長方形がＢＤ上の正方形と等しい。
そして、点Ｂが円ＡＣＤの外部にとられ、Ｂから２線分ＢＡ、ＢＤが円ＡＣＤにひかれ、それらのうちの一方が円を切り、他方が円周上におち、ＡＢ、ＢＣに囲まれている長方形はＢＤ上の正方形と等しいので、ＢＤは円ＡＣＤに接する。命題Ⅲ．37
そのとき、ＢＤはそれに接し、ＤＣは接点Ｄからひかれるので、角ＢＤＣは円の反対側の切片内の角ＤＡＣと等しい。命題Ⅲ．32
そのとき、角ＢＤＣは角ＤＡＣと等しいので、おのおのに角ＣＤＡを加えなさい。それゆえ、角ＢＤＡ全体は２角ＣＤＡ、ＤＡＣの和と等しい。
しかし、外角ＢＣＤは角ＣＤＡ、ＤＡＣの和と等しいので、角ＢＤＡも角ＢＣＤと等しい。命題Ⅰ．32
しかし、辺ＡＤも辺ＡＢと等しいので、角ＢＤＡは角ＣＢＤと等しい。したがって、角ＤＢＡも角ＢＣＤと等しい。命題Ⅰ．５
それゆえ、角ＢＤＡ、ＤＢＡ、ＢＣＤは互いに等しい。
そして、角ＤＢＣは角ＢＣＤと等しいので、辺ＢＤも辺ＤＣと等しい。命題Ⅰ．６
しかし、仮定よりＢＤはＣＡと等しいので、ＣＡもＣＤと等しい。したがって、角ＣＤＡも角ＤＡＣと等しい。命題Ⅰ．５
それゆえ、角ＣＤＡ、ＤＡＣの和は角ＤＡＣの２倍である。
そして、角ＢＣＤは角ＣＤＡ、ＤＡＣの和と等しいので、角ＢＣＤも角ＣＡＤの２倍である。
しかし、角ＢＣＤは角ＢＤＡ、ＤＢＡのそれぞれと等しいので、角ＢＤＡ、ＤＢＡのそれぞれも角ＤＡＢの２倍である。
それゆえ、底辺ＤＢにおける角のそれぞれが残りの角の２倍である二等辺三角形ＡＢＤが作図されている。
作業終了