命題30

大きい線分でできた正方形が小さい線分でできた正方形より 大きい線分と通約不可能な線分でできた正方形だけ大きく， 平方においてのみ通約可能な二つの有理線分を見つける。

有理線分をAB,二つの平方数をCE,EDとする。
それらの和であるCDは平方でないとする。

AB上に半円AFBをかく。
DCがCEに対するようにBAでできた正方形はAFでできた正方形に 対するようなFをとり，FBを結ぶ。 �].29.Lemma2 �].6.Cor.

定理29と同様にすると，BAとAFが 有理で平方においてのみ通約可能であることがわかる。

DCがCEに対するようにBAでできた正方形はAFでできた正方形に対し， ゆえに除比の理よりCDがDEに対するように ABでできた正方形はBFでできた正方形に対する。 �X.19.Cor. �V.31 �T.47

また，CDはDEに対して平方数であらわせる比をもたないので，
ゆえに，ABでできた正方形はBFでできた正方形に対して 平方数であらわせる比をもたない。

ゆえに，ABはBFと長さにおいて通約不可能。 �].9

そして，ABでできた正方形はAFでできた正方形より，ABと 長さにおいて通約不可能なFBでできた正方形だけ大きい。

ゆえに，ABとAFは有理で平方においてのみ通約可能な直線である。

証明終了