命題34

平方において通約不可能であり，それぞれの線分でできた正方形の和が中項面積であり，
それらの線分でできた長方形は有理であるような，二つの直線を見つける。

二つの中項線分AB,BCとする。
それらは平方においてのみ通約可能， すなわちその二つの線分でできた長方形は有理でABでできた正方形は BCでできた正方形より ABと通約不可能な線分でできた正方形だけ大きい。 �].31

AB上に半円ADBをかく，BEでできた正方形に等しく 正方形だけ欠けている平行四辺形がAB上につくられる。

つまり，AFとFBでできた長方形である。
よって，AFはFBと通約不可能。 �Y.28 �].18

FからABに対して直角にFDをひき，ADとDBをむすぶ。

AFはFBと長さにおいて通約不可能なので 長方形BA，AFは長方形AB,BFと通約不可能。 �].11

また，長方形BA,AFはAD上の正方形に等しく， 長方形AB,BFはDB上の正方形に等しい。

ゆえに，AD上の正方形はDB上の正方形と通約不可能

そしてAB上の正方形は中項面積であり， AD上，DB上の正方形の和も中項面積。 �V.31 �T.47

BCはDFの二倍なので， ゆえに，長方形AB，BCは長方形AB,FDの二倍である。

また，長方形AB，BCは長方形AB,FDの二倍である。

また，長方形AB,BCは有理で，ゆえに，長方形AB，FDも有理。 �].6

また，長方形AB，FDは長方形AD，DBに等しい

すなわち，長方形AD，DBも有理。

よって，平方において通約不可能な二つの直線ADとDBは
それぞれの線分でできた正方形の和が中項面積であり， 二つの直線でできた長方形は有理である。

証明終了