命題35

平方において通約不可能であり，
それぞれの線分でできた正方形の和が中項であり， 中項な長方形に含まれ，
その長方形と二つの直線の正方形の和が 通約不可能であるような二つの直線を見つける。

二つの中項線分AB，BCは平方においてのみ通約可能で， 中項な長方形に含まれ，
AB上の正方形は，BC上の正方形よりABと通約不可能である 直線上の正方形によって大きいことがいえるとする。

AB上に半円ADBを描く。作図の残りは前と同様。 �].31

AFはFBと長さにおいて通約不可能なので， ADもDBと平方において通約不可能である。 �].18 �].11

AB上の正方形は中項なので， AD上とDB上の正方形の合計も中項である。 �V.31 �T.47

AFとFBの長方形は直線BEとDFのそれぞれの正方形と等しい。

よって，BEはDFと等しい。

よって，BCはFDの二倍であり， ABとBCの長方形もABとFDの長方形の二倍である。

しかしABとBCの長方形は中項なのでABとFDの長方形も中項である。 �].32

そしてそれは，ADとDBの長方形と等しいので， ADとDBの長方形も中項である。 �].33.Lemma

ABはBCと長さにおいて， 通約不可能なので，CBはBEと通約可能である。

よって，ABもBEと長さにおいて通約不可能。
AB上の正方形もABとBEの長方形と通約不可能。 �].13 �].11

ここで，AD上とDB上の正方形の和はAB上の正方形に等しい。

そしてそれはABとFDの長方形である。
つまり，ADとDBの長方形はABとBEの長方形と等しい。

よって，AD上とDB上の正方形の和は ADとDBの長方形と通約不可能である。 �T.47

よって，二つの直線ADとDBは平方において通約不可能であり，
それぞれの線分でできた正方形の和が中項であり， 中項な長方形に含まれその長方形と 二つの直線上の正方形の和が通約不可能である。

証明終了