命題86

「第2の余線分を見つける」

有理線分をAとし，Aと長さにおいて通約可能な線分をGCとする。そのとき，GCは有理である。2つの平方数をDE,EFとして，これらの差であるDFは平方ではないとする。

FDがDEに対するように，CG上の正方形がGB上の正方形に対するように描く。

そのとき，CG上の正方形はGB上の正方形と通約可能である。 �].6

また，CG上の正方形は有理で，ゆえにGB上の正方形も有理である。ゆえに，BGは有理。また，GC上の正方形はGB上の正方形に対して平方数で表せる比をもたないので，ゆえにCGはGBと長さにおいて通約不可能である。 �].9

また，両方とも有理なので，ゆえにCGとGBは平方においてのみ通約可能な有理線分である。ゆえに，BCは余線分である。 �].73

次に，それが第2の余線分である事を示す。

BG上の正方形はGC上の正方形よりH上の正方形だけ大きいとする。

BG上の正方形がGC上の正方形に対するように，平方数EDが平方数DFに対するので，ゆえに，入れ替えてBG上の正方形がH上の正方形に対するように，DEはEFに対する。

また，DEとEFは互いに平方なので，ゆえに，BG上の正方形はH上の正方形に対して平方数で表せる比をもつ。ゆえに，BGはHと長さにおいて通約可能である。 �].9

そして，BG上の正方形はGC上の正方形よりH上の正方形だけ大きい。ゆえに，BG上の正方形はGC上の正方形よりBGと長さにおいて通約可能な線分上の正方形だけ大きい。

また，CGは定められた有理線分Aと通約可能であり，ゆえにBCは第2の余線分である。よって，第2の余線分BCは見つけられた。 �].Def.�V.2

証明終了

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