命題88

「第4の余線分を見つける」

有理線分Aが定められ、BGはAと長さにおいて通約可能とする。 ２つの数DF,FEが定められ、DE全体は数DE,EFに対して平方数が平方数に対する比をもたないようにする。

DEがEFに対するようにBGでできた正方形がGCでできた正方形に対するようにされたとする。 �].6

このとき、BGでできた正方形はGCでできた正方形と通約可能である。

また、BGでできた正方形は有理面積であるので、GCででた正方形は有理面積である。よって、GCは有理線分である。 DEはEFに対して平方数が平方数に対する比をもたないので、BGでできた正方形はGCでできた正方形に対して平方数が平方数に対する比をもたない。 よって、BGはGCと長さにおいて通約不可能である。 �].9

BG,GC有理線分であるので平方においてのみ通約可能な有理線分である。よって、BCは余線分である。 �].73

Hでできた正方形はBGでできた正方形とGCでできた正方形との差であるとする。

DEがEFに対するようにBGでできた正方形GCでできた正方形に対するので、除比の理より、EDがDFに対するようにGBでできた正方形がHでできた正方形に対する。

また、EDはDFに対して平方数が平方数に対する比をもたない。 　よって、GBでできた正方形はHでできた正方形に対して平方数が平方数に対する比をもたない。ゆえに、BGはHと長さにおいて通約不可能である。 �].9

BGでできた正方形はGCでできた正方形よりHでできた正方形だけ大きい。よって、BGでできた正方形はGCでできた正方形よりBGと通約不可能な線分でできた正方形だけ大きい。

BG全体は定められた有理線分Aと長さにおいて通約可能である。 よって、BCは第4の余線分である。 したがって、第4の余線分が見つけられた。 �].Def.�V.4

証明終了

第10巻命題87へ　 第10巻命題89へ　 第10巻目次へ