命題６

「線分が２等分され、１つの線分がそれと一直線をなして加えられるならば、加えられた線分を合わせた全体と加えられた線分によって囲まれている長方形ともとの線分の半分の上の正方形の和は、もとの線分の半分と加えられた線分でつくっている線分上の正方形と等しい。」

線分ＡＢが点Ｃで２等分され、線分ＢＤがそれと一直線をなして加えられるとせよ。

ことをいう。

ＣＤ上に正方形ＣＥＦＤをかき、ＤＥを結びなさい。点Ｂを通って、ＥＣ、ＤＦのどちらかと平行なＢＧをひき、点Ｈを通って、ＡＢ、ＥＦのどちらかと平行なＫＭをひきなさい。さらに、Ａを通って、ＣＬ、ＤＭのどちらかと平行なＡＫをひきなさい。命題�T．46，命題�T．31

そのとき、ＡＣはＣＢと等しいので、ＡＬもＣＨと等しい。しかし、ＣＨはＨＦと等しい。それゆえ、ＡＬもＨＦと等しい。命題�T．36，命題�T．43

おのおのにＣＭを加えなさい。それゆえ、ＡＭ全体はグノーモーンＮＯＰと等しい。

しかし、ＡＭはＡＤ、ＤＢに囲まれている長方形である。なぜなら、ＤＭはＤＢと等しい。それゆえ、グノーモーンＮＯＰもＡＤ、ＤＢに囲まれている長方形と等しい。

おのおのにＢＣ上の正方形と等しいＬＧを加えなさい。それゆえ、ＡＤ、ＤＢに囲まれている長方形とＣＢ上の正方形の和はグノーモーンＮＯＰとＬＧの和と等しい。

しかし、グノーモーンＮＯＰとＬＧはＣＤ上にかかれている正方形ＣＥＦＤ全体である。それゆえ、ＡＤ、ＤＢによって囲まれている長方形とＣＢ上の正方形の和は、ＣＤ上の正方形と等しい。

それゆえ、線分が２等分され、１つの線分がそれと一直線をなして加えられるならば、加えられた線分を合わせた全体と加えられた線分によって囲まれている長方形ともとの線分の半分の上の正方形の和は、もとの線分の半分と加えられた線分でつくっている線分上の正方形と等しい。

証明終了

第２巻命題５へ　第２巻命題７へ　第２巻目次へ