命題８
「円外に点がとられ、その点からいくつかの線分が円を通ってひかれ、そのうちの１つは中心を通り、他は任意にひかれるならば、凹形の弧にひかれた線分のうち、中心を通るものはもっとも大きく、一方で、他の線分のうち、中心を通るものに近いものは遠いものより常に大きい。しかし、凸形の弧にひかれた線分のうち、その点と直径の間のものがもっとも小さく、一方で、他の線分のうち、もっとも小さいものに近いものは遠いものより常に小さい。そして、その点から円周にただ２つの等しい線分がもっとも小さい線分の両端にひかれる。」
円をＡＢＣとし、ＡＢＣの外部に点Ｄがとられたとせよ。Ｄから線分ＤＡ、ＤＥ、ＤＦがひかれたとし、ＤＡが中心を通ってひかれるとせよ。
凹形の弧ＡＥＦＣにひかれた線分のうち、中心を通る線分ＤＡはもっとも大きく、一方で、ＤＥはＤＦより大きく、ＤＦはＤＣより大きいが、凸形の弧ＨＬＫＧにひかれた線分のうち、その点と直径ＡＧの間の線分ＤＧがもっとも小さく、もっとも小さいＤＧに近いものは遠いものより常に小さい、すなわち、ＤＫはＤＬより小さく、ＤＬはＤＨより小さいことをいう。
円ＡＢＣの中心Ｍをとりなさい。ＭＥ、ＭＦ、ＭＣ、ＭＫ、ＭＬ、ＭＨを結びなさい。命題Ⅲ．１
そのとき、ＡＭはＥＭと等しいので、おのおのにＭＤを加えなさい。そうすると、ＡＤはＥＭとＭＤの和と等しい。
しかし、ＥＭとＭＤの和はＥＤより大きいので、ＡＤもＥＤより大きい。命題Ⅰ．20
また、ＭＥはＭＦと等しく、ＭＤは共通なので、ＥＭ、ＭＤはＦＭ、ＭＤと等しく、角ＥＭＤは角ＦＭＤより大きいので、底辺ＥＤは底辺ＦＤより大きい。命題Ⅰ．24
同様にして、ＦＤはＣＤより大きいことが証明することができる。それゆえ、ＤＡはもっとも大きく、一方で、ＤＥはＤＦより大きく、ＤＦはＤＣより大きい。
つぎに、ＭＫとＫＤの和はＭＤより大きく、ＭＧはＭＫと等しいので、残りのＫＤは残りのＧＤより大きく、それゆえ、ＧＤはＫＤより小さい。命題Ⅰ．20
そして、三角形ＭＬＤの辺のうちのＭＤ上で、三角形内で交わる２線分ＭＫ、ＫＤが作図されるので、ＭＫとＫＤの和はＭＬとＬＤの和より小さい。そして、ＭＫはＭＬと等しいので、残りのＤＫは残りのＤＬより小さい。命題Ⅰ．21
同様にして、ＤＬもＤＨより小さい。それゆえ、ＤＧはもっとも小さく、一方で、ＤＫはＤＬより小さく、ＤＬはＤＨより小さい。
点Ｄから円周にただ２つの等しい線分がもっとも小さいＤＧの両端にひかれることもいう。
線分ＭＤ上にその上の点Ｍにおいて角ＫＭＤと等しい角ＤＭＢを作図しなさい。ＤＢを結びなさい。
そのとき、ＭＫはＭＢと等しく、ＭＤは共通なので、ＫＭ、ＭＤはＢＭ、ＭＤとそれぞれ等しく、角ＫＭＤは角ＢＭＤと等しいので、底辺ＤＫは底辺ＤＢと等しい。命題Ⅰ．４
点Ｄから円周に線分ＤＫと等しい他のどの線分もないことをいう。
可能ならば、そのように線分がひかれたとし、それをＤＮとせよ。そのとき、ＤＫはＤＮと等しく、ＤＫはＤＢと等しいので、ＤＢもＤＮと等しい。つまり、もっとも小さいＤＧに近いものが遠いものと等しくなるが、不可能である。
それゆえ、点Ｄから円周ＡＢＣにもっとも小さいＤＧの両端に２つより多い等しい線分はひかれない。
それゆえ、円外に点がとられ、その点からいくつかの線分が円を通ってひかれ、そのうちの１つは中心を通り、他は任意にひかれるならば、凹形の弧にひかれた線分のうち、中心を通るものはもっとも大きく、一方で、他の線分のうち、中心を通るものに近いものは遠いものより常に大きい。しかし、凸形の弧にひかれた線分のうち、その点と直径の間のものがもっとも小さく、一方で、他の線分のうち、もっとも小さいものに近いものは遠いものより常に小さい。そして、その点から円周にただ２つの等しい線分がもっとも小さい線分の両端にひかれる。
証明終了