命題62
「第2の双中項線分上の正方形に等しい長方形が有理線分上に作られるとき，第3の二項線分を幅とする」
DGが第3の二項線分である事を示す。
前と同様に作図をする。
ABは第2の双中項線分であり，Cで分けられるのでゆえにACとCBは平方においてのみ通約可能な有理線分であり中項な長方形に含まれる。すなわち，AC上，CB上の正方形の和も中項である。 Ⅹ.38 Ⅹ.15
また，それはDLに等しいのでDLも中項である。DLは有理線分上に作られるので，MDはDEと長さにおいて通約不可能である。 Ⅹ.22
同様に，MGもまた有理でMLすなわちDEと長さにおいて通約不可能なので，ゆえに直線DMとMGは両方とも有理でDE長さにおいて通約不可能である。
ACはCBと長さにおいて通約不可能なので，ACがCBに対するようにAC上の正方形がAC,CBでできた長方形に対する。ゆえに，AC上の正方形はAC,CBでできた長方形と通約不可能である。 Ⅹ.11
したがって，AC上，CB上の正方形の和は，AC,CBでできた長方形の2倍と通約不可能であり，すなわちDLはMFと通約不可能で，DMはMGと通約不可能である。 Ⅹ.12 Ⅹ.13 Ⅵ.1 Ⅹ.11
また，それらは有理でゆえにDGは二項線分である。 Ⅹ.36
次にそれが第3の二項線分である事を示す。
前と同様にして，DMはMGより大きく，DKはKMと通約可能である事を証明する。
また，DKとKMでできた長方形はMN上の正方形に等しく，ゆえにDM上の正方形はMG上の正方形よりDMと通約可能な線分上の正方形だけ大きい。また，DMとMGは両方ともDEと長さにおいて通約可能ではない。
ゆえに，DGは第3の二項線分である。 Ⅹ.Def.Ⅱ.3
証明終了