命題65
「2つの中項面積の和に等しい正方形に辺が有理線分上に作られるとき，第6の二項線分を幅とする」
DGが第6の二項線分である事を示す。
前と同様に作図をする。
ABは2つの中項面積の和に等しい正方形の辺なので，Cで分けられ，ACとCBは平方において通約不可能である。また，AC上，CB上の正方形の和は中項であり，ACとCBでできた長方形も中項である。さらに，AC上，CB上の正方形の和はACとCBでできた長方形と通約不可能である。 Ⅹ.41
すなわち，前と同じ様に証明すると，長方形DLとMFは両方とも中項である。また，それらは有理線分DE上に作られているので直線DMとMGはDEと長さにおいて通約不可能な有理線分である。 Ⅹ.22
AC上，CB上の正方形の和はAC,CBでできた長方形の2倍と通約不可能なので，ゆえにDLはMFと通約不可能。
ゆえに，DMとMGは平方においてのみ通約可能な有理線分である。よって，DGは二項線分である。 Ⅹ.36
次に，DGが第6の二項線分である事を示す。
また，同じ様にDKとKMでできた長方形がMN上の正方形に等しく，DKはKMと長さにおいて通約不可能であり，同様にして，DM上の正方形はMG上の正方形よりDMと長さにおいて通約不可能な線分上の正方形だけ大きい。
また，DMとMGはともに有理線分DEと長さにおいて通約可能ではない。
ゆえに，DGは第6の二項線分である。
証明終了