命題１０
「線分が２等分され、１つの線分がそれと一直線をなして加えられるならば、加えられた線分を合わせた全体の上の正方形と加えられた線分の上の正方形の和はもとの線分の半分の上の正方形ともとの線分の半分と加えられた線分を一直線になす線分上の正方形の和の２倍である。」
線分ＡＢが点Ｃで２等分され、線分ＢＤがそれと一直線をなして加えられるとせよ。
ＡＤ、ＤＢ上の正方形の和はＡＣ、ＣＤ上の正方形の和の２倍であることをいう。
ＣからＡＢに直角になるＣＥをひき、それをＡＣ、ＣＢのどちらかと等しくさせなさい。ＥＡとＥＢを結びなさい。Ｅを通って、ＡＤと平行なＥＦをひき、Ｄを通って、ＣＥと平行なＦＤをひきなさい。命題Ⅰ．11，命題Ⅰ．３，命題Ⅰ．31
そのとき、線分ＥＦは平行線ＥＣ、ＦＤと交わっているので、角ＣＥＦとＥＦＤの和は２直角と等しい。それゆえ、角ＦＥＢと角ＥＦＤの和は２直角よりも小さい。命題Ⅰ．29
しかし、２直角より小さい角から延長されるとき２線分は交わる。それゆえ、Ｂ、Ｄの方向に延長されるならば、ＥＢ、ＦＤは交わるであろう。公準Ⅰ．５
延長されＧで交わっているとせよ。ＡＧを結びなさい。
そのとき、ＡＣはＣＥと等しいので、角ＥＡＣも角ＡＥＣと等しい。Ｃにおける角は直角なので、角ＥＡＣ、ＡＥＣのそれぞれは直角の半分である。命題Ⅰ．５
同様な理由で、角ＣＥＢ、ＥＢＣのそれぞれも直角の半分なので、角ＡＥＢは直角である。
そして、角ＥＢＣは直角の半分なので、角ＤＢＧも直角の半分である。しかし、角ＢＤＧと角ＤＣＥは錯角で、角ＢＤＧは角ＤＣＥと等しいため角ＢＤＧも直角である。それゆえ、残りの角ＤＧＢは直角の半分である。それゆえ、角ＤＧＢは角ＤＢＧと等しい。ゆえに、辺ＢＤも辺ＧＤと等しい。命題Ⅰ．15，命題Ⅰ．29，命題Ⅰ．６
また、角ＥＧＦは直角の半分で、Ｆにおける角が対角、Ｃにおける角と等しいため直角なので、残りの角ＦＥＧは直角である。それゆえ、角ＥＧＦは角ＦＥＧと等しい。ゆえに、辺ＧＦも辺ＥＦと等しい。命題Ⅰ．34，命題Ⅰ．32，命題Ⅰ．６
いま、ＥＣ上の正方形はＣＡ上の正方形と等しいので、ＥＣ、ＣＡ上の正方形の和はＣＡ上の正方形の２倍である。しかし、ＥＡ上の正方形はＥＣ、ＣＡ上の正方形の和と等しいので、ＥＡ上の正方形はＣＡ上の正方形の２倍である。命題Ⅰ．47，共通概念Ⅰ．１
また、ＦＧはＦＥと等しいので、ＦＧ上の正方形もＦＥ上の正方形と等しい。それゆえ、ＧＦ、ＦＥ上の正方形の和はＥＦ上の正方形の２倍である。しかし、ＥＧ上の正方形はＧＦ、ＦＥ上の正方形の和と等しいので、ＥＧ上の正方形はＥＦ上の正方形の２倍である。そして、ＥＦはＣＤと等しいので、ＥＧ上の正方形はＣＤ上の正方形の２倍である。しかし、ＥＡ上の正方形はＣＡ上の正方形の２倍であることも証明されていたので、ＡＥ、ＥＧ上の正方形はＡＣ、ＣＤ上の正方形の２倍である。命題Ⅰ．47，命題Ⅰ．34
そして、ＡＧ上の正方形もＡＥ、ＥＧ上の正方形と等しいので、ＡＧ上の正方形はＡＣ、ＣＤ上の正方形の２倍である。しかし、ＡＤ、ＤＧ上の正方形はＡＧ上の正方形と等しいので、ＡＤ、ＤＧ上の正方形はＡＣ、ＣＤ上の正方形の２倍である。命題Ⅰ．47
そして、ＤＧはＤＢと等しいので、ＡＤ、ＤＢ上の正方形の和はＡＣ、ＣＤ上の正方形の和の２倍である。
それゆえ、線分が２等分され、１つの線分がそれと一直線をなして加えられるならば、加えられた線分を合わせた全体の上の正方形と加えられた線分の上の正方形の和はもとの線分の半分の上の正方形ともとの線分の半分と加えられた線分を一直線になす線分上の正方形の和の２倍である。
証明終了