命題55

有理線分と第二の二項線分で作られる面積ならば，
その時の面積と等しい正方形の 一辺は無理線分で第一の双中項線分と呼ばれる。

面積ABCDは有理線分ABと第二の二項線分ADで囲まれるとする。

面積ACに等しい正方形の一辺は第一の双中項線分とする。
ADは第二の二項線分であるので， Eでその項に分けられ，AEは大きい項であるとする。

AE,EDは平方においてのみ通約可能な有理線分で， AEでできた正方形はEDでできた正方形より，
AEと通約可能な線分でできた正方形だけ大きく， 小さい項EDはABと長さにおいて通約可能である。 �].Def,�U.2

EDはFで二等分され，EFでできた正方形に等しく，
AE上に正方形だけ欠けているAG，GEでできた長方形を描かれたとする。

このとき，AGはGEと長さにおいて通約可能である。 �].17

AEは長さにおいてEDと通約可能で, EDはABと通約可能なので,AEはABと通約不可能である。 �].13

AGはEGと通約可能なので,AEも線分AG,GEと通約可能である。
また，AEはABと長さにおいて通約不可能
よって，AG,GEもABと通約不可能 �].15 �].13

ゆえに，BA，AGとBA，GEは平方においてのみ通約可能な有理線分の組である。
したがって，長方形AH,GKは中項面積である。
ゆえに,正方形SN,NQは中項面積である。
よって，MN,NOも中項面積である。 �].21

AGはGEと長さにおいてのみ通約可能なので,AHはGKと通約可能, すなわちSNはNQと通約可能でMNはNOと通約可能 �Y.1 �].11

AEはEDと長さにおいて通約不可能で, AEはAGと通約可能でEDはEFと通約可能なので,AGはEFと通約不可能。 �].13

AEはEDと長さにおいて通約不可能で,AEはAGと 通約可能でEDはEFと通約可能なので,AGはEFと通約不可能。

AHもELと通約不可能である。つまり,SNはMRと通約不可能で，PNとNRも通約不可能。 つまり，MNはNOと通約不可能である。 �Y.1 �].11

しかし，MN,NOは中項線分で平方において通約可能であることが証明された。
よって，MN,NOは平方においてのみ通約可能な中項線分である。

次に有理面積を囲むことを示す。

DEは仮定により,線分AB,EFと通約可能なので,EFはEKと通約可能。 �].12

また，AB,EFは有理線分なので,EL すなわち，MRは有理線分で,MRはMN,NOでできた長方形である。 �].19

しかし,平方においてのみ通約可能で,有理面積を囲む 二つの中項線分が加えられるなら,
全体は無理線分で第一の双中項線分と呼ばれる。 �].37

証明終了