命題108
「有理面積から中項面積がひかれるならば，そのとき残りの面積に等しい正方形の一辺は余線分か劣線分かの2つの無理線分の1つである」
有理面積BCから中項面積BDをひくとする。
残りの面積ECと等しい正方形の一辺が余線分か劣線分かの2つの無理線分の1つであることを示す。
有理線分FGとし，FG上にBCに等しい長方形GHがつくられたとし,DBに等しいGKがひかれたとする。そのとき残りのECはLHに等しい。
そのときBCは有理で,BDは中項,BCはGHと等しくBDはGKに等しいので,GHは有理でGKは中項である。
ここでHF上の正方形はFK上の正方形よりHFと通約可能か不可能かどちらかの直線上の正方形だけ大きい。
まず,通約可能な直線上の正方形だけ大きいとする。
ここで全体のHFは有理線分FGと長さにおいて通約可能。よってKHは第1の余線分である。 Ⅹ.Def.Ⅲ.2
しかしここで,有理線分と第1の余線分でできる長方形に等しい正方形の一辺は余線分である。よってLHに等しい正方形の一辺，つまりECは余線分である。 Ⅹ.91
しかしここで，HF上の正方形がFK上の正方形よりHFと通約不可能な直線上の正方形だけ大きいならば,全体のFHは長さにおいてFGと通約可能なので,KHは第4の余線分である。 Ⅹ.Def.Ⅲ.4
しかしここで,有理線分と第4の余線分でできた長方形に等しい正方形の一辺は劣線分である。 Ⅹ.94
したがって，有理面積から中項面積がひかれるならば，そのとき残りの面積に等しい正方形の一辺は余線分か劣線分かの2つの無理線分の1つである。
証明終了