命題110
「中項面積から全体と通約できない中項面積が引かれるならば，残りの2つの無理線分，すなわち第2の中項余線分か，2つの中項面積の差に等しい正方形の辺ができる」
前と同じ図形を作図すると，中項面積BCから全体と通約不可能な面積BDが引かれるとする。
ECに等しい正方形に辺は2つの無理線分の1つ，すなわち第2の中項余線分か，2つの中項面積の差に等しい正方形の辺である事を証明する。
長方形BCとBDは中項で，BCはBDと通約不可能なので，ゆえに直線FHとFKは有理でFGと長さにおいて通約不可能である。 Ⅹ.22
BCはBDと，すなわちGHはGKと通約不可能なので，ゆえにHFもまたFKと通約不可能である。 Ⅵ.1 Ⅹ.11
ゆえに，FHとFKは平方においてのみ通約可能なゆり線分である。ゆえに，KHは余線分である。 Ⅹ.73
もし，FH上の正方形がFK上の正方形よりFHと通約可能な線分上の正方形だけ大きいならば，FHとFKの両方ともが定められた有理線分FGと長さにおいて通約可能であり，そのときKHは第3の余線分である。 Ⅹ.Def.Ⅲ.3
ところが，KLは有理で，有理線分と第3の余線分によって囲まれる長方形は無理なので，それに等しい正方形の辺は無理線分で，それを第2の中項余線分と呼ぶ。だから，LHに等しい正方形の辺，すなわちECに等しい正方形の辺は第2の中項余線分である。 Ⅹ.93
ところが，もしFH上の正方形がFK上の正方形よりFHと通約不可能菜線分上の正方形だけい大きいならば，直線HFとFKの両方ともがFGと長さにおいて通約可能であり，その時KHは第6の余線分である。 Ⅹ.Def.Ⅲ.6 Ⅹ.95
有理線分と第6の余線分によって囲まれる長方形に等しい正方形の辺は，2つの中項面積の差に等しい正方形の辺である。 Ⅹ.96
ゆえに，LHすなわちECに等しい正方形の辺は2つの中項面積の差に等しい正方形の辺である。
したがって，中項面積から全体と通約できない中項面積が引かれるならば，残りの2つの無理線分，すなわち第2の中項余線分か，2つの中項面積の差に等しい正方形の辺ができる。
証明終了