命題７
「円の直径上に円の中心でない１点がとられ、その点から円に線分がひかれるならば、中心を通る線分はもっとも大きく、同じ直径の残りはもっとも小さく、他の線分のうち中心を通る線分に近いほうが遠いほうより常に大きい。そして、ただ２つの等しい線分が円上の点からひかれ、もっとも小さい線分の両端にひかれる。」
円をＡＢＣＤとし、その直径をＡＤとしなさい。円の中心ではない、ＡＤ上の点をＦとせよ。円の中心をＥとせよ。Ｆから円ＡＢＣＤに線分ＦＢ、ＦＣ、ＦＧをひきなさい。
ＦＡはもっとも大きく、ＦＤはもっとも小さく、残りのＦＢはＦＣより大きく、ＦＣはＦＧより大きいことをいう。
ＢＥ、ＣＥ、ＧＥを結びなさい。
そのとき、任意の三角形で任意の２つの辺の和は残りの１辺より大きいので、ＥＢとＥＦの和はＢＦより大きい。命題Ⅰ．20
しかし、ＡＥはＢＥと等しい。それゆえ、ＡＦはＢＦより大きい。
また、ＢＥはＣＥと等しく、ＦＥは共通なので、２辺ＢＥ、ＥＦは２辺ＣＥ、ＥＦと等しい。しかし、角ＢＥＦはまた角ＣＥＦより大きいので、底辺ＢＦは底辺ＣＦより大きい。同様な理由で、ＣＦもＧＦよりも大きい。命題Ⅰ．24
また、ＧＦとＦＥの和はＥＧよりも大きく、ＥＧはＥＤと等しいので、ＧＦとＦＥの和はＥＤよりも大きい。
おのおのからＥＦをひきなさい。それゆえ、残りのＧＦは残りのＦＤより大きい。
それゆえ、ＦＡはもっとも大きく、ＦＤはもっとも小さく、ＦＢはＦＣより大きく、ＦＣはＦＧより大きい。
ただ２つの等しい線分が円ＡＢＣＤ上の点Ｆからひかれ、もっとも小さい線分ＦＤの両端にひかれることもいう。
線分ＥＦ上の点Ｅにおいて角ＧＥＦと等しい角ＦＥＨを作図しなさい。ＦＨを結びなさい。命題Ⅰ．23
そのとき、ＧＥはＥＨと等しく、ＥＦは共通なので、２辺ＧＥ、ＥＦは２辺ＨＥ、ＥＦとそれぞれ等しい。そして、角ＧＥＦは角ＨＥＦと等しい。それゆえ、底辺ＦＧは底辺ＦＨと等しい。命題Ⅰ．４
また、ＦＧと等しい別の線分が円上の点Ｆからひかれないことをいう。
可能ならば、ＦＫがそのようにひかれるとせよ。
そのとき、ＦＫはＦＧと等しく、ＦＨはＦＧと等しいので、ＦＫもＦＨと等しい。中心を通る線分に近いほうが遠いほうと等しくなるが、不可能である。
それゆえ、ＧＦと等しい別の線分が円上の点Ｆからひかれない。それゆえ、ただ１つの線分だけがそのようにひかれる。
それゆえ、円の直径上に円の中心でない１点がとられ、その点から円に線分がひかれるならば、中心を通る線分はもっとも大きく、同じ直径の残りはもっとも小さく、他の線分のうち中心を通る線分に近いほうが遠いほうより常に大きい。そして、ただ２つの等しい線分が円上の点からひかれ、もっとも小さい線分の両端にひかれる。
証明終了